平面上の $\triangle ABC$ と任意の点 $P$ に対して、ベクトル方程式 $|\overrightarrow{BP} + \overrightarrow{CP}| = |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|$ が表す円がどのような円であるかを求める問題です。

1. 問題の内容

平面上の $\triangle ABC$ と任意の点 $P$ に対して、ベクトル方程式 $|\overrightarrow{BP} + \overrightarrow{CP}| = |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|$ が表す円がどのような円であるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル方程式 $|\overrightarrow{BP} + \overrightarrow{CP}| = |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|$ を変形します。

$\overrightarrow{BP} + \overrightarrow{CP} = (\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}) + (\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}) = 2\overrightarrow{AP} - (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$

これより、与えられた式は

$|2\overrightarrow{AP} - (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})| = |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|$

両辺を2で割ると、

$|\overrightarrow{AP} - \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2}| = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|$

ここで、線分 $BC$ の中点を $M$ とすると、$\overrightarrow{AM} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2}$ となります。したがって、

$|\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AM}| = \frac{1}{2}|2\overrightarrow{AM}|$

$|\overrightarrow{MP}| = |\overrightarrow{AM}|$

これは、点 $P$ と点 $M$ の距離が、点 $A$ と点 $M$ の距離に等しいことを示しています。すなわち、点 $P$ は点 $M$ を中心とする半径 $|\overrightarrow{AM}|$ の円周上にあることを意味します。

3. 最終的な答え

このベクトル方程式は、線分 $BC$ の中点 $M$ を中心とし、半径が $AM$ の円を表します。