関数 $f(x) = 4^x - 3 \cdot 2^{x-2}$ が与えられています。 (1) $2^x = t$ とおくとき、$f(x)$ を $t$ を用いて表します。 (2) $x \le -1$ の範囲を動くとき、$f(x)$ のとり得る値の範囲を求めます。 (3) $a$ を定数とします。$a \le x \le a+1$ において $f(x)$ は $x = a+1$ で最大となり、さらに最大値が13以下であるような $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 4^x - 3 \cdot 2^{x-2}$ が与えられています。

(1) $2^x = t$ とおくとき、$f(x)$ を $t$ を用いて表します。

(2) $x \le -1$ の範囲を動くとき、$f(x)$ のとり得る値の範囲を求めます。

(3) $a$ を定数とします。$a \le x \le a+1$ において $f(x)$ は $x = a+1$ で最大となり、さらに最大値が13以下であるような $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $2^x = t$ とおくとき、$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = t^2$ となります。

また、$2^{x-2} = 2^x \cdot 2^{-2} = \frac{1}{4} 2^x = \frac{1}{4} t$ となります。

したがって、$f(x) = t^2 - 3 \cdot \frac{1}{4} t = t^2 - \frac{3}{4} t$ と表せます。

(2) $x \le -1$ より、$t = 2^x \le 2^{-1} = \frac{1}{2}$ となります。

$f(x) = t^2 - \frac{3}{4} t = (t - \frac{3}{8})^2 - \frac{9}{64}$ と変形できます。

$t \le \frac{1}{2}$ の範囲で、$f(x)$ は $t = \frac{1}{2}$ で最大値 $f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{3}{8} = -\frac{1}{8}$ をとります。

また、$t$ が小さくなるほど $f(x)$ は大きくなります。$t>0$より、$t$は0に限りなく近づけますが，$f(x)$は$-\frac{9}{64}$より大きくなります。

$t>0$より$f(x)$は下限を持ちません。

$0 < t \le \frac{1}{2}$ において、$f'(t) = 2t - \frac{3}{4}$ より $f'(t) < 0$ となるのは $t < \frac{3}{8}$ のときです。

$0 < t \le \frac{3}{8}$ では単調減少、$\frac{3}{8} \le t \le \frac{1}{2}$ では単調増加となります。

$t = \frac{3}{8}$ のとき最小値 $f(\frac{3}{8}) = -\frac{9}{64}$ をとります。

したがって、$f(x)$ のとり得る値の範囲は $-\frac{9}{64} \le f(x) \le -\frac{1}{8}$ です。

(3) $a \le x \le a+1$ において $f(x)$ は $x = a+1$ で最大となるとあります。

$f(a+1) \le 13$ となるような $a$ の範囲を求めます。

$f(a+1) = 4^{a+1} - 3 \cdot 2^{a+1-2} = 4 \cdot 4^a - \frac{3}{2} \cdot 2^a \le 13$

$4t^2 - \frac{3}{2}t \le 13$

$8t^2 - 3t - 26 \le 0$

$(t - 2)(8t + 13) \le 0$

$-\frac{13}{8} \le t \le 2$

$2^a = t/2$

$2^a>0$より$0<t$より

$0 \le t \le 2$

$t = 2^{a+1} \le 2$ より $a+1 \le 1$ となるので $a \le 0$ です。

$a \le x \le a+1$ において、$x=a+1$ で最大となるには、$2^x$の変化率が正である必要があります。

$x=a+1$で最大となるような$a$の範囲は、少なくとも$a+1 \le 0$が必要です。

$a \le -1$ である必要があります。

このとき $f(a+1) \le 13$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = t^2 - \frac{3}{4} t$

(2) $-\frac{9}{64} \le f(x) \le -\frac{1}{8}$

(3) $a \le -1$