(1) 数列 $4, x, 9, ...$ が等比数列であるとき、$x$ の値を求めよ。 (2) 次の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。 数列は $\frac{1}{5}, \frac{3}{5 \cdot 2}, -\frac{3^2}{5 \cdot 2^2}, \frac{3^3}{5 \cdot 2^3}, ...$ である。

1. 問題の内容

(1) 数列 $4, x, 9, ...$ が等比数列であるとき、$x$ の値を求めよ。

(2) 次の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。

数列は $\frac{1}{5}, \frac{3}{5 \cdot 2}, -\frac{3^2}{5 \cdot 2^2}, \frac{3^3}{5 \cdot 2^3}, ...$ である。

2. 解き方の手順

(1) 等比数列の性質より、隣り合う3項 $a, b, c$ が等比数列をなすとき、$b^2 = ac$ が成り立つ。この性質を利用して、$x$ を求める。

$x^2 = 4 \cdot 9 = 36$

したがって、$x = \pm \sqrt{36} = \pm 6$

(2) 与えられた等比数列の初項 $a$ と公比 $r$ を求める。

初項 $a = \frac{1}{5}$

公比 $r = \frac{\frac{3}{5 \cdot 2}}{\frac{1}{5}} = \frac{3}{2}$

ただし、第3項の符号がマイナスになっているので、公比は負であると考える。

$r = \frac{-\frac{3^2}{5 \cdot 2^2}}{\frac{3}{5 \cdot 2}} = \frac{-\frac{9}{20}}{\frac{3}{10}} = -\frac{9}{20} \cdot \frac{10}{3} = -\frac{3}{2}$

初項 $a = \frac{1}{5}$、公比 $r = -\frac{3}{2}$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ で与えられる。

$S_n = \frac{\frac{1}{5}(1 - (-\frac{3}{2})^n)}{1 - (-\frac{3}{2})} = \frac{\frac{1}{5}(1 - (-\frac{3}{2})^n)}{1 + \frac{3}{2}} = \frac{\frac{1}{5}(1 - (-\frac{3}{2})^n)}{\frac{5}{2}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{5}(1 - (-\frac{3}{2})^n) = \frac{2}{25}(1 - (-\frac{3}{2})^n)$

3. 最終的な答え

(1) $x = \pm 6$

(2) $S_n = \frac{2}{25}(1 - (-\frac{3}{2})^n)$