問題は、以下の2つの多項式を因数分解することです。 (4) $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$ (5) $6x^2 + 5xy - 6y^2 + x - 5y - 1$

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの多項式を因数分解することです。

(4) $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$

(5) $6x^2 + 5xy - 6y^2 + x - 5y - 1$

2. 解き方の手順

(4) の因数分解

まず、$x$ について整理します。

$2x^2 + (-3y + 5)x + (-2y^2 + 5y - 3)$

次に、定数項を因数分解します。

$-2y^2 + 5y - 3 = -(2y^2 - 5y + 3) = -(2y - 3)(y - 1)$

与式が$(ax+by+c)(dx+ey+f)$の形になると仮定します。$2x^2 - 3xy - 2y^2$の部分から$(2x+y)(x-2y)$もしくは$(2x-y)(x+2y)$という組み合わせが考えられます。定数項から$-3$と$1$の組み合わせを考えると、

$(2x + y + a)(x - 2y + b)$と置いて、$a$と$b$を求めます。

$(2x + y + 3)(x - 2y - 1)$を展開すると、

$2x^2 - 4xy - 2x + xy - 2y^2 - y + 3x - 6y - 3 = 2x^2 - 3xy - 2y^2 + x - 7y - 3$

これは与式と異なります。

$(2x-y+3)(x+2y-1)$を展開すると、

$2x^2+4xy-2x-xy-2y^2+y+3x+6y-3 = 2x^2+3xy-2y^2+x+7y-3$

これも与式と異なります。

$(2x + y - 1)(x - 2y + 3)$を展開すると、

$2x^2 - 4xy + 6x + xy - 2y^2 + 3y - x + 2y - 3 = 2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$

(5) の因数分解

まず、$x$ について整理します。

$6x^2 + (5y + 1)x + (-6y^2 - 5y - 1)$

次に、定数項を因数分解します。

$-6y^2 - 5y - 1 = -(6y^2 + 5y + 1) = -(3y + 1)(2y + 1)$

与式が$(ax+by+c)(dx+ey+f)$の形になると仮定します。$6x^2 + 5xy - 6y^2$の部分から$(2x+3y)(3x-2y)$もしくは$(2x-3y)(3x+2y)$という組み合わせが考えられます。定数項から$-1$と$1$の組み合わせを考えると、

$(2x+3y+a)(3x-2y+b)$と置いて、$a$と$b$を求めます。

$(2x+3y+1)(3x-2y-1)$を展開すると、

$6x^2 - 4xy - 2x + 9xy - 6y^2 - 3y + 3x - 2y - 1 = 6x^2 + 5xy - 6y^2 + x - 5y - 1$

3. 最終的な答え

(4) $(2x + y - 1)(x - 2y + 3)$

(5) $(2x + 3y + 1)(3x - 2y - 1)$