3点A(5, 2), B(-1, 0), C(3, -2)が与えられている。 (1) これら3点A, B, Cを通る円の方程式を求める。 (2) 三角形ABCの外心の座標と、外接円の半径を求める。

1. 問題の内容

3点A(5, 2), B(-1, 0), C(3, -2)が与えられている。

(1) これら3点A, B, Cを通る円の方程式を求める。

(2) 三角形ABCの外心の座標と、外接円の半径を求める。

2. 解き方の手順

(1) 求める円の方程式を

$x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$

とおく。

点A(5, 2)を通るので、

$5^2 + 2^2 + 5l + 2m + n = 0$

$25 + 4 + 5l + 2m + n = 0$

$5l + 2m + n = -29$ ...(1)

点B(-1, 0)を通るので、

$(-1)^2 + 0^2 - l + 0m + n = 0$

$1 - l + n = 0$

$-l + n = -1$ ...(2)

点C(3, -2)を通るので、

$3^2 + (-2)^2 + 3l - 2m + n = 0$

$9 + 4 + 3l - 2m + n = 0$

$3l - 2m + n = -13$ ...(3)

(1), (2), (3)の連立方程式を解く。

(1) - (2)より、

$6l + 2m = -28$

$3l + m = -14$ ...(4)

(3) - (2)より、

$4l - 2m = -12$

$2l - m = -6$ ...(5)

(4) + (5)より、

$5l = -20$

$l = -4$

(5)に代入して、

$2(-4) - m = -6$

$-8 - m = -6$

$m = -2$

(2)に代入して、

$-(-4) + n = -1$

$4 + n = -1$

$n = -5$

よって、円の方程式は、

$x^2 + y^2 - 4x - 2y - 5 = 0$

(2) 円の方程式を平方完成する。

$(x - 2)^2 - 4 + (y - 1)^2 - 1 - 5 = 0$

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 10$

よって、外心の座標は(2, 1), 外接円の半径は$\sqrt{10}$

3. 最終的な答え

(1) 円の方程式: $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 5 = 0$

(2) 外心の座標: (2, 1), 外接円の半径: $\sqrt{10}$