三角形ABCにおいて、$cos A = \frac{1}{3}$ のとき、$cos(B+C)$ と $tan(B+C)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$cos A = \frac{1}{3}$ のとき、$cos(B+C)$ と $tan(B+C)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

三角形の内角の和は180度なので、$A+B+C = 180^\circ$ が成り立つ。したがって、$B+C = 180^\circ - A$ である。

$cos(B+C) = cos(180^\circ - A) = -cos A$

$cos A = \frac{1}{3}$ より、

$cos(B+C) = -\frac{1}{3}$

次に、$tan(B+C)$ を求める。

$tan(B+C) = tan(180^\circ - A) = -tan A$

$cos A = \frac{1}{3}$ なので、$sin A$ を求める。

$sin^2 A + cos^2 A = 1$ より、

$sin^2 A = 1 - cos^2 A = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$sin A = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

（$0^\circ < A < 180^\circ$ なので $sin A > 0$ ）

$tan A = \frac{sin A}{cos A} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = 2\sqrt{2}$

よって、

$tan(B+C) = -tan A = -2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$cos(B+C) = -\frac{1}{3}$

$tan(B+C) = -2\sqrt{2}$