与えられた数列 $\{a_n\} : 1, 4, 11, 22, 37, ...$ の一般項を、階差数列を利用して求める。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\{a_n\} : 1, 4, 11, 22, 37, ...$ の一般項を、階差数列を利用して求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の階差数列 $\{b_n\}$ を求める。

$b_1 = a_2 - a_1 = 4 - 1 = 3$

$b_2 = a_3 - a_2 = 11 - 4 = 7$

$b_3 = a_4 - a_3 = 22 - 11 = 11$

$b_4 = a_5 - a_4 = 37 - 22 = 15$

したがって、階差数列 $\{b_n\} : 3, 7, 11, 15, ...$ となる。

次に、階差数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。

$\{b_n\}$ は初項 $3$、公差 $4$ の等差数列であるから、

$b_n = 3 + (n-1) \cdot 4 = 3 + 4n - 4 = 4n - 1$

与えられた数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ は、 $n \geq 2$ のとき

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k - 1)$

$a_n = 1 + 4 \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$a_n = 1 + 4 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - (n-1)$

$a_n = 1 + 2n(n-1) - (n-1)$

$a_n = 1 + 2n^2 - 2n - n + 1$

$a_n = 2n^2 - 3n + 2$

$n=1$ のとき $a_1 = 2(1)^2 - 3(1) + 2 = 2 - 3 + 2 = 1$ となり、与えられた数列の初項と一致する。

したがって、$a_n = 2n^2 - 3n + 2$ は、$n=1$ のときも成り立つ。

3. 最終的な答え

数列 $\{a_n\}$ の一般項は $a_n = 2n^2 - 3n + 2$ である。