数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + 3n$ で与えられているとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + 3n$ で与えられているとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

数列の和 $S_n$ と一般項 $a_n$ の関係を利用します。

まず、$n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ が成り立ちます。

次に、求めた $a_n$ の式に $n=1$ を代入した値と $a_1 = S_1$ を比較して、求めた式が $n=1$ のときにも成り立つかどうかを確認します。

$n \ge 2$ のとき、

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a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 3n) - ((n-1)^2 + 3(n-1))

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= n^2 + 3n - (n^2 - 2n + 1 + 3n - 3)

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= n^2 + 3n - (n^2 + n - 2)

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= 2n + 2

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次に、$n=1$ のときを考えます。

$S_1 = a_1 = 1^2 + 3(1) = 1 + 3 = 4$

一方、$a_n = 2n + 2$ に $n=1$ を代入すると $a_1 = 2(1) + 2 = 4$ となり、$a_1 = S_1$ を満たします。

したがって、すべての $n$ に対して $a_n = 2n + 2$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = 2n + 2$