$x$ に関する二次方程式 $x^2 - 2mx + 2m^2 + m - 2 = 0$ の解がすべて整数となるような整数 $m$ をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

$x$ に関する二次方程式 $x^2 - 2mx + 2m^2 + m - 2 = 0$ の解がすべて整数となるような整数 $m$ をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、二次方程式の解の公式を用いて $x$ を $m$ で表します。

$x = \frac{-(-2m) \pm \sqrt{(-2m)^2 - 4(2m^2 + m - 2)}}{2}$

$x = \frac{2m \pm \sqrt{4m^2 - 8m^2 - 4m + 8}}{2}$

$x = \frac{2m \pm \sqrt{-4m^2 - 4m + 8}}{2}$

$x = m \pm \sqrt{-m^2 - m + 2}$

ここで、$\sqrt{-m^2 - m + 2}$ が整数である必要があるので、$-m^2 - m + 2 = k^2$ (ただし、$k$ は非負整数) となる必要があります。

$-m^2 - m + 2 \ge 0$ である必要があるので、

$m^2 + m - 2 \le 0$

$(m+2)(m-1) \le 0$

$-2 \le m \le 1$

したがって、$m$ の候補は $-2, -1, 0, 1$ です。

それぞれの場合について $-m^2 - m + 2$ を計算します。

- $m = -2$ のとき、$-m^2 - m + 2 = -(-2)^2 - (-2) + 2 = -4 + 2 + 2 = 0 = 0^2$

このとき、$x = -2 \pm \sqrt{0} = -2$ は整数です。

- $m = -1$ のとき、$-m^2 - m + 2 = -(-1)^2 - (-1) + 2 = -1 + 1 + 2 = 2$

このとき、$\sqrt{2}$ は整数ではないので、$m = -1$ は不適です。

- $m = 0$ のとき、$-m^2 - m + 2 = -0^2 - 0 + 2 = 2$

このとき、$\sqrt{2}$ は整数ではないので、$m = 0$ は不適です。

- $m = 1$ のとき、$-m^2 - m + 2 = -1^2 - 1 + 2 = -1 - 1 + 2 = 0 = 0^2$

このとき、$x = 1 \pm \sqrt{0} = 1$ は整数です。

したがって、$m = -2, 1$ が条件を満たす整数です。

3. 最終的な答え

$m = -2, 1$