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ある整式を $2x+3$ で割ったとき、商が $3x^2-1$ で、余りが $5$ であった。この整式を求めよ。

代数学多項式割り算展開
2025/8/15

1. 問題の内容

ある整式を 2x+32x+3 で割ったとき、商が 3x2−13x^2-1 で、余りが 55 であった。この整式を求めよ。

2. 解き方の手順

整式を P(x)P(x) とおくと、問題文より、
P(x)P(x) を 2x+32x+3 で割ると、商が 3x2−13x^2-1、余りが 55 となる。
これは、次のように表せる。
P(x)=(2x+3)(3x2−1)+5P(x) = (2x+3)(3x^2-1) + 5
これを展開して整理する。
P(x)=2x(3x2−1)+3(3x2−1)+5P(x) = 2x(3x^2-1) + 3(3x^2-1) + 5
P(x)=6x3−2x+9x2−3+5P(x) = 6x^3 - 2x + 9x^2 - 3 + 5
P(x)=6x3+9x2−2x+2P(x) = 6x^3 + 9x^2 - 2x + 2

3. 最終的な答え

6x3+9x2−2x+26x^3 + 9x^2 - 2x + 2

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