与えられた式 $(x^2 - 4x + 2)(x^2 - 4x - 4) - 7$ を展開し、整理して簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x^2 - 4x + 2)(x^2 - 4x - 4) - 7$ を展開し、整理して簡単にします。

2. 解き方の手順

共通部分 $x^2 - 4x$ を $A$ と置きます。すると、与えられた式は $(A + 2)(A - 4) - 7$ となります。

この式を展開します。

$(A + 2)(A - 4) - 7 = A^2 - 4A + 2A - 8 - 7 = A^2 - 2A - 15$

ここで、$A = x^2 - 4x$ を代入します。

$(x^2 - 4x)^2 - 2(x^2 - 4x) - 15 = (x^4 - 8x^3 + 16x^2) - (2x^2 - 8x) - 15 = x^4 - 8x^3 + 14x^2 + 8x - 15$

したがって、$x^4 - 8x^3 + 14x^2 + 8x - 15$ を因数分解できるか確認します。$x^4 - 8x^3 + 14x^2 + 8x - 15 = (A+2)(A-4) - 7 = A^2 - 2A - 15 = (A-5)(A+3)$.

$A = x^2 - 4x$ を代入すると、

$(x^2 - 4x - 5)(x^2 - 4x + 3) = (x - 5)(x + 1)(x - 3)(x - 1)$.

3. 最終的な答え

$(x - 5)(x + 1)(x - 3)(x - 1)$

または展開した式 $x^4 - 8x^3 + 14x^2 + 8x - 15$