正の整数 $a, b$ ($a < b$) について、$a$ と $b$ の最大公約数が $30$ で、最小公倍数が $1800$ であるような $a, b$ の組の個数を求めよ。

1. 問題の内容

正の整数 $a, b$ ($a < b$) について、$a$ と $b$ の最大公約数が $30$ で、最小公倍数が $1800$ であるような $a, b$ の組の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

$a$ と $b$ の最大公約数を $g$、最小公倍数を $l$ とすると、$a = gx$、 $b = gy$ ( $x, y$ は互いに素な正の整数で、$x < y$) と表すことができる。

このとき、$ab = gl$ が成り立つ。

問題の条件より、$g = 30$、$l = 1800$ なので、$ab = 30 \cdot 1800 = 54000$ である。

また、$a = 30x$、$b = 30y$ なので、$ab = (30x)(30y) = 900xy$ である。

したがって、$900xy = 54000$、すなわち $xy = \frac{54000}{900} = 60$ である。

$x < y$ で、$x$ と $y$ は互いに素な正の整数なので、$x$ と $y$ の組を求める。

$xy = 60$ を満たす $(x, y)$ の組は、

$(1, 60)$, $(3, 20)$, $(4, 15)$, $(5, 12)$ がある。

したがって、$(a, b)$ の組は、

$(30, 1800)$, $(90, 600)$, $(120, 450)$, $(150, 360)$ の 4 組である。

3. 最終的な答え

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