数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$ と漸化式 $a_{n+1} = a_n + 6n$ で定義されるとき、一般項 $a_n$ を $a_n = \boxed{オ}n^2 - \boxed{カ}n + \boxed{キ}$ の形で求めます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$ と漸化式 $a_{n+1} = a_n + 6n$ で定義されるとき、一般項 $a_n$ を $a_n = \boxed{オ}n^2 - \boxed{カ}n + \boxed{キ}$ の形で求めます。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を変形します。

$a_{n+1} - a_n = 6n$

この式から、数列 $\{a_n\}$ の階差数列が $\{6n\}$ であることがわかります。$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 6k$

$a_1 = 1$ なので、

$a_n = 1 + 6 \sum_{k=1}^{n-1} k$

ここで、$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ なので、

$a_n = 1 + 6 \cdot \frac{(n-1)n}{2}$

$a_n = 1 + 3(n^2 - n)$

$a_n = 1 + 3n^2 - 3n$

$a_n = 3n^2 - 3n + 1$

これは、$n=1$ のとき、$a_1 = 3(1)^2 - 3(1) + 1 = 3 - 3 + 1 = 1$ となり、$a_1=1$を満たします。

したがって、すべての$n$に対して、一般項は$a_n = 3n^2 - 3n + 1$となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 3n^2 - 3n + 1$

オ：3

カ：3

キ：1