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関数 $y = -x^2 + 2x$ について、$x$ の値が $3$ から $3+h$ まで変化するときの平均変化率を求める問題です。

解析学平均変化率二次関数微分
2025/4/6

1. 問題の内容

関数 y=−x2+2xy = -x^2 + 2x について、xx の値が 33 から 3+h3+h まで変化するときの平均変化率を求める問題です。

2. 解き方の手順

平均変化率は、変化後の yy の値から変化前の yy の値を引き、それを変化後の xx の値から変化前の xx の値を引いたもので割ることによって求められます。
* x=3x=3 のとき、y=−(3)2+2(3)=−9+6=−3y = -(3)^2 + 2(3) = -9 + 6 = -3
* x=3+hx=3+h のとき、y=−(3+h)2+2(3+h)=−(9+6h+h2)+6+2h=−9−6h−h2+6+2h=−h2−4h−3y = -(3+h)^2 + 2(3+h) = -(9+6h+h^2) + 6+2h = -9-6h-h^2+6+2h = -h^2 -4h -3
平均変化率を計算します。
y変化後−y変化前x変化後−x変化前=(−h2−4h−3)−(−3)(3+h)−3=−h2−4hh=h(−h−4)h\frac{y_{変化後} - y_{変化前}}{x_{変化後} - x_{変化前}} = \frac{(-h^2 -4h -3) - (-3)}{(3+h) - 3} = \frac{-h^2 -4h}{h} = \frac{h(-h-4)}{h}
h≠0h \neq 0 であるので、hh で約分できます。
−h−4-h - 4

3. 最終的な答え

−h−4-h-4

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