関数 $y = 2x^2 + 3x + 1$ において、$x$ の値が $4$ から $4+h$ まで変化するときの平均変化率を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 + 3x + 1$ において、$x$ の値が $4$ から $4+h$ まで変化するときの平均変化率を求める。

2. 解き方の手順

平均変化率は、変化後の $y$ の値から変化前の $y$ の値を引き、それを $x$ の変化量で割ることで求められます。

まず、$x=4$ のときの $y$ の値を計算します。

$y(4) = 2(4)^2 + 3(4) + 1 = 2(16) + 12 + 1 = 32 + 12 + 1 = 45$

次に、$x = 4+h$ のときの $y$ の値を計算します。

$y(4+h) = 2(4+h)^2 + 3(4+h) + 1 = 2(16 + 8h + h^2) + 12 + 3h + 1 = 32 + 16h + 2h^2 + 12 + 3h + 1 = 2h^2 + 19h + 45$

平均変化率は、$\frac{y(4+h) - y(4)}{(4+h) - 4}$ で求められます。

$\frac{(2h^2 + 19h + 45) - 45}{(4+h) - 4} = \frac{2h^2 + 19h}{h}$

$h$ で割ると、

$\frac{2h^2 + 19h}{h} = 2h + 19$

3. 最終的な答え

$2h + 19$