与えられた式 $1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2$ が、すべての自然数 $n$ に対して成り立つことを、数学的帰納法を用いて証明する穴埋め問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2$ が、すべての自然数 $n$ に対して成り立つことを、数学的帰納法を用いて証明する穴埋め問題です。

2. 解き方の手順

(1) $n=1$ のとき

* 左辺は $1$ です。

* 右辺は $1^2 = 1$ です。

よって、

* アは $1$

* イは $1$

* ウは $1$

$n=k$ のとき、 $1 + 3 + 5 + \cdots + (2k-1) = k^2$ が成り立つと仮定します。

(2) $n = k+1$ のとき、

左辺は $1 + 3 + 5 + \cdots + (2k-1) + \{2(k+1) - 1\}$ となります。

これは $1 + 3 + 5 + \cdots + (2k-1) + (2k+2 - 1) = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2k-1) + (2k+1)$ となります。

よって、

* エは $k+1$

帰納法の仮定より、$1 + 3 + 5 + \cdots + (2k-1) = k^2$ なので、

$k^2 + (2k+1) = (k+1)^2$ となります。

よって、

* オは $k^2$

* カは $k+1$

3. 最終的な答え

ア：1

イ：1

ウ：1

エ：k+1

オ：k^2

カ：k+1