(1) 不等式 $6x + 8(6-x) > 7$ を満たす2桁の自然数 $x$ の個数を求めます。 (2) 不等式 $5(x-1) < 2(2x+a)$ を満たす $x$ のうちで、最大の整数が 6 であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $6x + 8(6-x) > 7$ を満たす2桁の自然数 $x$ の個数を求めます。

(2) 不等式 $5(x-1) < 2(2x+a)$ を満たす $x$ のうちで、最大の整数が 6 であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、不等式 $6x + 8(6-x) > 7$ を解きます。

$6x + 48 - 8x > 7$

$-2x > -41$

$x < \frac{41}{2} = 20.5$

$x$ は2桁の自然数なので、$10 \le x \le 20$ です。

したがって、不等式を満たす $x$ は 10, 11, 12, ..., 20 の 11 個です。

(2)

まず、不等式 $5(x-1) < 2(2x+a)$ を解きます。

$5x - 5 < 4x + 2a$

$x < 2a + 5$

不等式を満たす $x$ のうち、最大の整数が 6 であるので、

$6 < 2a + 5 \le 7$ となります。

各辺から 5 を引いて、$1 < 2a \le 2$

各辺を 2 で割って、$\frac{1}{2} < a \le 1$

3. 最終的な答え

(1) 11 個

(2) $\frac{1}{2} < a \le 1$