不等式 $\sqrt{4x^2-4x+1} + |2x+3| > x+7$ を満たす実数 $x$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{4x^2-4x+1} + |2x+3| > x+7$ を満たす実数 $x$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{4x^2 - 4x + 1}$ を簡単にします。

$4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2$ なので、

$\sqrt{4x^2 - 4x + 1} = \sqrt{(2x - 1)^2} = |2x - 1|$

したがって、与えられた不等式は $|2x - 1| + |2x + 3| > x + 7$ となります。

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

(i) $x < -\frac{3}{2}$ のとき

$2x - 1 < 0$ かつ $2x + 3 < 0$ なので、

$|2x - 1| = -(2x - 1) = -2x + 1$

$|2x + 3| = -(2x + 3) = -2x - 3$

したがって、不等式は $-2x + 1 - 2x - 3 > x + 7$ となり、

$-4x - 2 > x + 7$

$-5x > 9$

$x < -\frac{9}{5}$

条件 $x < -\frac{3}{2}$ と $x < -\frac{9}{5}$ を満たす $x$ の範囲は $x < -\frac{9}{5}$ です。

(ii) $-\frac{3}{2} \le x < \frac{1}{2}$ のとき

$2x - 1 < 0$ かつ $2x + 3 \ge 0$ なので、

$|2x - 1| = -(2x - 1) = -2x + 1$

$|2x + 3| = 2x + 3$

したがって、不等式は $-2x + 1 + 2x + 3 > x + 7$ となり、

$4 > x + 7$

$x < -3$

条件 $-\frac{3}{2} \le x < \frac{1}{2}$ と $x < -3$ を満たす $x$ は存在しません。

(iii) $x \ge \frac{1}{2}$ のとき

$2x - 1 \ge 0$ かつ $2x + 3 > 0$ なので、

$|2x - 1| = 2x - 1$

$|2x + 3| = 2x + 3$

したがって、不等式は $2x - 1 + 2x + 3 > x + 7$ となり、

$4x + 2 > x + 7$

$3x > 5$

$x > \frac{5}{3}$

条件 $x \ge \frac{1}{2}$ と $x > \frac{5}{3}$ を満たす $x$ の範囲は $x > \frac{5}{3}$ です。

(i), (ii), (iii) より、不等式を満たす $x$ の範囲は $x < -\frac{9}{5}$ または $x > \frac{5}{3}$ です。

3. 最終的な答え

$x < -\frac{9}{5}, \frac{5}{3} < x$