問題は、次の和 $S$ を求めることです。 (1) $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + \dots + n \cdot 4^{n-1}$

1. 問題の内容

問題は、次の和 $S$ を求めることです。

(1) $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + \dots + n \cdot 4^{n-1}$

2. 解き方の手順

この和は、等差数列と等比数列の積の和の形をしています。このような和を求めるには、等比数列の公比を掛けて、元の式から引くという方法を用います。

まず、元の和 $S$ を書きます。

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + \dots + n \cdot 4^{n-1}$

次に、両辺に公比 4 を掛けます。

$4S = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4^3 + \dots + (n-1) \cdot 4^{n-1} + n \cdot 4^n$

そして、$S$ から $4S$ を引きます。

$S - 4S = (1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + \dots + n \cdot 4^{n-1}) - (1 \cdot 4 + 2 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4^3 + \dots + (n-1) \cdot 4^{n-1} + n \cdot 4^n)$

$-3S = 1 + (2-1) \cdot 4 + (3-2) \cdot 4^2 + \dots + (n-(n-1)) \cdot 4^{n-1} - n \cdot 4^n$

$-3S = 1 + 4 + 4^2 + \dots + 4^{n-1} - n \cdot 4^n$

ここで、$1 + 4 + 4^2 + \dots + 4^{n-1}$ は初項 1、公比 4、項数 $n$ の等比数列の和なので、次のように計算できます。

$1 + 4 + 4^2 + \dots + 4^{n-1} = \frac{1(4^n - 1)}{4-1} = \frac{4^n - 1}{3}$

したがって、

$-3S = \frac{4^n - 1}{3} - n \cdot 4^n$

$S = -\frac{1}{3} \left( \frac{4^n - 1}{3} - n \cdot 4^n \right)$

$S = -\frac{1}{9} (4^n - 1 - 3n \cdot 4^n)$

$S = \frac{3n \cdot 4^n - 4^n + 1}{9}$

$S = \frac{(3n-1)4^n + 1}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{(3n-1)4^n+1}{9}$