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関数 $y = -x^2 + 2x$ において、$x$の値が1から4まで変化するときの平均変化率を求める問題です。

解析学平均変化率二次関数微分
2025/4/6

1. 問題の内容

関数 y=−x2+2xy = -x^2 + 2x において、xxの値が1から4まで変化するときの平均変化率を求める問題です。

2. 解き方の手順

平均変化率は、ある区間における関数の変化量と、xxの変化量の比で定義されます。
xxがaaからbbまで変化するときの関数f(x)f(x)の平均変化率は、
f(b)−f(a)b−a\frac{f(b) - f(a)}{b - a}
で計算できます。
この問題では、f(x)=−x2+2xf(x) = -x^2 + 2x, a=1a = 1, b=4b = 4です。
まず、f(1)f(1)とf(4)f(4)を計算します。
f(1)=−(1)2+2(1)=−1+2=1f(1) = -(1)^2 + 2(1) = -1 + 2 = 1
f(4)=−(4)2+2(4)=−16+8=−8f(4) = -(4)^2 + 2(4) = -16 + 8 = -8
次に、平均変化率を計算します。
f(4)−f(1)4−1=−8−14−1=−93=−3\frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{-8 - 1}{4 - 1} = \frac{-9}{3} = -3

3. 最終的な答え

-3

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