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関数 $y = -x^2 + 5x + 1$ において、$x$ の値が $a$ から $a+h$ まで変化するときの平均変化率を求めなさい。

解析学平均変化率二次関数微分
2025/4/6

1. 問題の内容

関数 y=−x2+5x+1y = -x^2 + 5x + 1 において、xx の値が aa から a+ha+h まで変化するときの平均変化率を求めなさい。

2. 解き方の手順

平均変化率は、変化後の yy の値から変化前の yy の値を引き、それを xx の変化量で割ることで求められます。
まず、x=ax = a のときの yy の値を計算します。
y(a)=−a2+5a+1y(a) = -a^2 + 5a + 1
次に、x=a+hx = a+h のときの yy の値を計算します。
y(a+h)=−(a+h)2+5(a+h)+1=−(a2+2ah+h2)+5a+5h+1=−a2−2ah−h2+5a+5h+1y(a+h) = -(a+h)^2 + 5(a+h) + 1 = -(a^2 + 2ah + h^2) + 5a + 5h + 1 = -a^2 - 2ah - h^2 + 5a + 5h + 1
平均変化率は、
y(a+h)−y(a)(a+h)−a=(−a2−2ah−h2+5a+5h+1)−(−a2+5a+1)h\frac{y(a+h) - y(a)}{(a+h) - a} = \frac{(-a^2 - 2ah - h^2 + 5a + 5h + 1) - (-a^2 + 5a + 1)}{h}
=−a2−2ah−h2+5a+5h+1+a2−5a−1h=\frac{-a^2 - 2ah - h^2 + 5a + 5h + 1 + a^2 - 5a - 1}{h}
=−2ah−h2+5hh=\frac{-2ah - h^2 + 5h}{h}
=h(−2a−h+5)h=\frac{h(-2a - h + 5)}{h}
=−2a−h+5=-2a - h + 5

3. 最終的な答え

−2a−h+5-2a - h + 5

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