$f(x) = x^3 - 3x$ とする。曲線 $y = f(x)$ を $C$ とし、$C$ 上の点 $(t, t^3 - 3t)$ における接線を $l$ とする。ただし、$t \geq 0$ とする。 (1) 直線 $l$ の方程式を求めよ。 (2) 曲線 $C$ と直線 $l$ の接点以外の共有点の座標を求めよ。 (3) 曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた図形のうち $x \geq 0$ の部分の面積を $S$ とする。$S = 12$ であるような $t$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$f(x) = x^3 - 3x$ とする。曲線 $y = f(x)$ を $C$ とし、$C$ 上の点 $(t, t^3 - 3t)$ における接線を $l$ とする。ただし、$t \geq 0$ とする。

(1) 直線 $l$ の方程式を求めよ。

(2) 曲線 $C$ と直線 $l$ の接点以外の共有点の座標を求めよ。

(3) 曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた図形のうち $x \geq 0$ の部分の面積を $S$ とする。$S = 12$ であるような $t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の方程式を求める。

$f'(x) = 3x^2 - 3$ であるから、$C$ 上の点 $(t, t^3 - 3t)$ における接線 $l$ の傾きは $f'(t) = 3t^2 - 3$ である。

したがって、直線 $l$ の方程式は、

$y - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(x - t)$

$y = (3t^2 - 3)x - 3t^3 + 3t + t^3 - 3t$

$y = (3t^2 - 3)x - 2t^3$

(2) 曲線 $C$ と直線 $l$ の接点以外の共有点の座標を求める。

$x^3 - 3x = (3t^2 - 3)x - 2t^3$

$x^3 - 3x - (3t^2 - 3)x + 2t^3 = 0$

$x^3 - 3t^2x + 2t^3 = 0$

$(x - t)^2(x + 2t) = 0$

$x = t, -2t$

接点以外の共有点の $x$ 座標は $x = -2t$ である。

$x = -2t$ を $y = f(x)$ に代入すると、

$y = (-2t)^3 - 3(-2t) = -8t^3 + 6t$

したがって、接点以外の共有点の座標は $(-2t, -8t^3 + 6t)$

(3) 曲線 $C$ と直線 $l$ で囲まれた図形のうち $x \geq 0$ の部分の面積を $S$ とする。$S = 12$ であるような $t$ の値を求める。

$-2t < 0$ なので積分範囲は 0 から t。

$S = \int_{0}^{t} \{(3t^2 - 3)x - 2t^3 - (x^3 - 3x)\} dx = \int_0^t (-x^3 + 3t^2x - 2t^3)dx$

$S = \left[-\frac{x^4}{4} + \frac{3t^2x^2}{2} - 2t^3x\right]_0^t = -\frac{t^4}{4} + \frac{3t^4}{2} - 2t^4 = \frac{-t^4 + 6t^4 - 8t^4}{4} = \frac{t^4}{4}$.

積分範囲は $-2t$から $t$なので、積分する関数は同じだが

$S = \int_{-2t}^{t} \{ (3t^2 - 3)x - 2t^3 - (x^3 - 3x) \} dx = \int_{-2t}^t (-x^3 + 3(t^2-1)x-2t^3) dx$

$S = [-\frac{x^4}{4} + \frac{3}{2}(t^2-1)x^2 - 2t^3 x]_{-2t}^t = (9t^4)/4$.

ここで、x >=0の部分だけを考慮する。

$-2t$ < 0 であるから場合分けが発生する。

(i) $-2t \geq 0$, つまり $t = 0$ の場合:

このとき$S = 0$となり、$S=12$を満たさないので不適。

(ii) $-2t < 0$ かつ $t > 0$ の場合:

$S = \int_{0}^{t} \{ (3t^2 - 3)x - 2t^3 - (x^3 - 3x) \} dx = \int_0^t (-x^3 + 3t^2x - 2t^3)dx = \frac{t^4}{4}$.

ゆえに$\frac{t^4}{4} = 12$, $t^4 = 48$, $t = \sqrt[4]{48} = 2\sqrt[4]{3}$。

3. 最終的な答え

(1) $y = (3t^2 - 3)x - 2t^3$

(2) $(-2t, -8t^3 + 6t)$

(3) $t = 2\sqrt[4]{3}$