関数 $f(x) = 2x^2 - 7$ の導関数 $f'(x)$ を求め、さらに $x=2$ と $x=4$ における傾き（導関数の値）を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x^2 - 7$ の導関数 $f'(x)$ を求め、さらに $x=2$ と $x=4$ における傾き（導関数の値）を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、導関数 $f'(x)$ を求める。

$f(x) = 2x^2 - 7$ の導関数は、べき乗の微分公式 $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ を用いると、

$f'(x) = 2 \cdot 2x^{2-1} - 0 = 4x$

となる。

次に、$x=2$ における傾きを求める。

$f'(2) = 4 \cdot 2 = 8$

最後に、$x=4$ における傾きを求める。

$f'(4) = 4 \cdot 4 = 16$

3. 最終的な答え

導関数: $f'(x) = 4x$

$x=2$ のとき、傾きは $8$

$x=4$ のとき、傾きは $16$