関数 $y = 4x^2 - x - 9$ のグラフ上の点 $(-2, 9)$ における接線の式を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = 4x^2 - x - 9$ のグラフ上の点 $(-2, 9)$ における接線の式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、導関数を求めます。

$y = 4x^2 - x - 9$ を $x$ で微分すると、

$y' = \frac{dy}{dx} = 8x - 1$ となります。

次に、点 $(-2, 9)$ における接線の傾きを求めます。

導関数 $y'$ に $x = -2$ を代入します。

$y'(-2) = 8(-2) - 1 = -16 - 1 = -17$

したがって、接線の傾きは $-17$ です。

最後に、点 $(-2, 9)$ を通り、傾きが $-17$ の直線の方程式を求めます。

点傾斜式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を使います。

ここで、$(x_1, y_1) = (-2, 9)$ であり、$m = -17$ です。

$y - 9 = -17(x - (-2))$

$y - 9 = -17(x + 2)$

$y - 9 = -17x - 34$

$y = -17x - 34 + 9$

$y = -17x - 25$

3. 最終的な答え

$y = -17x - 25$