$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$ の分母を有理化し、$\square \sqrt{\square} - \sqrt{\square}$ の形にせよ。

1. 問題の内容

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$ の分母を有理化し、$\square \sqrt{\square} - \sqrt{\square}$ の形にせよ。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数である $\sqrt{6}-\sqrt{5}$ を分母と分子にかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{5})}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})}$

分母は $(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5}) = (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2 = 6 - 5 = 1$ となります。

分子は $\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{5}) = \sqrt{2}\sqrt{6} - \sqrt{2}\sqrt{5} = \sqrt{12} - \sqrt{10} = \sqrt{4 \times 3} - \sqrt{10} = 2\sqrt{3} - \sqrt{10}$ となります。

したがって、$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{5}} = 2\sqrt{3} - \sqrt{10}$ となります。

3. 最終的な答え

$2\sqrt{3} - \sqrt{10}$