画像にある数学の問題は、集合と命題に関するものです。具体的には、集合の演算、必要条件・十分条件、命題の真偽、対偶法による証明などを扱っています。問題は以下の通りです。 * 19: 全体集合 $U = \{x \mid x \text{ は12以下の自然数}\}$ の部分集合 $A = \{x \mid x \text{ は12の正の約数}\}$ と $B = \{x \mid x \text{ は1以上10以下の奇数}\}$ について、$A \cap B$, $A \cup B$, $A \cap \overline{B}$, $\overline{A} \cap B$ を求める。 * 20: 集合を利用して、命題「自然数 $n$ が6の正の約数ならば、$n$ は16の正の約数である。」と「自然数 $n$ が9の正の倍数ならば、$n$ は3の正の倍数である。」の真偽を答える。 * 21: $a, b$ は実数とする。命題「$a = b \implies a^2 = b^2$」と「$a \geq b \implies \frac{1}{a} \leq \frac{1}{b}$」の真偽を調べる。偽である場合は反例をあげる。 * 22: 空欄に、「必要条件」、「十分条件」、「必要十分条件」のうち、適する言葉を入れる。 * (1) $\triangle ABC$ において、$\angle A + \angle B = \angle C$ であることは、$\triangle ABC$ が直角三角形であるための \_\_\_\_\_\_ 。 * (2) $A \subset B$ は、$A \cup B = B$ であるための \_\_\_\_\_\_ 。 * 23: $n$ は自然数とする。命題「$n$ は8の倍数 $\implies$ $n$ は4の倍数」の逆、対偶、裏を書き、その真偽を答える。 * 24: $a, b$ は整数とする。命題「$ab$ が偶数 $\implies$ $a$ が偶数または $b$ が偶数」が真であることを、対偶を利用して証明せよ。 * チャレンジ問題5: $\sqrt{3}$ が無理数であることを用いて、$4 - \sqrt{3}$ は無理数であることを証明せよ。

1. 問題の内容

画像にある数学の問題は、集合と命題に関するものです。具体的には、集合の演算、必要条件・十分条件、命題の真偽、対偶法による証明などを扱っています。問題は以下の通りです。

* 19: 全体集合 $U = \{x \mid x \text{ は12以下の自然数}\}$ の部分集合 $A = \{x \mid x \text{ は12の正の約数}\}$ と $B = \{x \mid x \text{ は1以上10以下の奇数}\}$ について、$A \cap B$, $A \cup B$, $A \cap \overline{B}$, $\overline{A} \cap B$ を求める。

* 20: 集合を利用して、命題「自然数 $n$ が6の正の約数ならば、$n$ は16の正の約数である。」と「自然数 $n$ が9の正の倍数ならば、$n$ は3の正の倍数である。」の真偽を答える。

* 21: $a, b$ は実数とする。命題「$a = b \implies a^2 = b^2$」と「$a \geq b \implies \frac{1}{a} \leq \frac{1}{b}$」の真偽を調べる。偽である場合は反例をあげる。

* 22: 空欄に、「必要条件」、「十分条件」、「必要十分条件」のうち、適する言葉を入れる。

* (1) $\triangle ABC$ において、$\angle A + \angle B = \angle C$ であることは、$\triangle ABC$ が直角三角形であるための \_\_\_\_\_\_ 。

* (2) $A \subset B$ は、$A \cup B = B$ であるための \_\_\_\_\_\_ 。

* 23: $n$ は自然数とする。命題「$n$ は8の倍数 $\implies$ $n$ は4の倍数」の逆、対偶、裏を書き、その真偽を答える。

* 24: $a, b$ は整数とする。命題「$ab$ が偶数 $\implies$ $a$ が偶数または $b$ が偶数」が真であることを、対偶を利用して証明せよ。

* チャレンジ問題5: $\sqrt{3}$ が無理数であることを用いて、$4 - \sqrt{3}$ は無理数であることを証明せよ。

2. 解き方の手順

* 19:

* $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$

* $A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$

* $B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

* (1) $A \cap B = \{1, 3\}$

* (2) $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12\}$

* (3) $\overline{B} = \{2, 4, 6, 8, 10, 11, 12\}$, $A \cap \overline{B} = \{2, 4, 6, 12\}$

* (4) $\overline{A} = \{5, 7, 8, 9, 10, 11\}$, $\overline{A} \cap B = \{5, 7, 9\}$

* 20:

* (1) 命題「自然数 $n$ が6の正の約数ならば、$n$ は16の正の約数である。」

* 6の正の約数は1, 2, 3, 6。16の正の約数は1, 2, 4, 8, 16。3は16の約数ではないので、偽。

* (2) 命題「自然数 $n$ が9の正の倍数ならば、$n$ は3の正の倍数である。」

* 9の倍数は9, 18, 27,...。これらはすべて3の倍数である。真。

* 21:

* (1) 命題「$a = b \implies a^2 = b^2$」

* $a = b$ ならば $a^2 = a \times a = b \times b = b^2$。真。

* (2) 命題「$a \geq b \implies \frac{1}{a} \leq \frac{1}{b}$」

* $a = 1, b = -1$のとき、$a > b$ だが、$\frac{1}{a} = 1$, $\frac{1}{b} = -1$ であり、$\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$。偽。

* 22:

* (1) $\triangle ABC$ において、$\angle A + \angle B = \angle C$ であることは、$\triangle ABC$ が直角三角形であるための **必要十分条件** 。

* $\angle A + \angle B = \angle C$ は $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$ より $\angle C = 90^\circ$ を意味するため。

* (2) $A \subset B$ は、$A \cup B = B$ であるための **必要十分条件** 。

* $A \subset B$ ならば $A \cup B = B$ であり、$A \cup B = B$ ならば $A \subset B$ である。

* 23:

* 命題「$n$ は8の倍数 $\implies$ $n$ は4の倍数」

* 逆: 「$n$ は4の倍数 $\implies$ $n$ は8の倍数」偽（反例: $n=4$）。

* 対偶: 「$n$ は4の倍数でない $\implies$ $n$ は8の倍数でない」真。

* 裏: 「$n$ は8の倍数でない $\implies$ $n$ は4の倍数でない」偽（反例: $n=12$）。

* 24:

* 命題「$ab$ が偶数 $\implies$ $a$ が偶数または $b$ が偶数」

* 対偶: 「$a$ が奇数かつ $b$ が奇数 $\implies$ $ab$ が奇数」

* $a = 2m + 1$, $b = 2n + 1$ (m, n は整数) とすると、$ab = (2m+1)(2n+1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn + m + n) + 1$。これは奇数なので、対偶は真。したがって、元の命題も真。

* チャレンジ問題5:

* $4 - \sqrt{3}$ が有理数であると仮定する。

* $4 - \sqrt{3} = r$ (r は有理数) とすると、$\sqrt{3} = 4 - r$。

* $r$ は有理数なので、$4 - r$ も有理数である。

* これは、$\sqrt{3}$ が無理数であることに矛盾する。

* したがって、$4 - \sqrt{3}$ は無理数である。

3. 最終的な答え

* 19: (1) $\{1, 3\}$ (2) $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12\}$ (3) $\{2, 4, 6, 12\}$ (4) $\{5, 7, 9\}$

* 20: (1) 偽 (2) 真

* 21: (1) 真 (2) 偽 (反例: $a = 1, b = -1$)

* 22: (1) 必要十分条件 (2) 必要十分条件

* 23: 逆:「$n$ は4の倍数 $\implies$ $n$ は8の倍数」偽。対偶:「$n$ は4の倍数でない $\implies$ $n$ は8の倍数でない」真。裏:「$n$ は8の倍数でない $\implies$ $n$ は4の倍数でない」偽。

* 24: 証明は上記参照

* チャレンジ問題5: 証明は上記参照