2次関数 $y = -3x^2 + 5x - (m-7)$ のグラフがx軸と接するとき、定数 $m$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -3x^2 + 5x - (m-7)$ のグラフがx軸と接するとき、定数 $m$ の値を求める。

2. 解き方の手順

2次関数のグラフがx軸と接するということは、2次方程式 $-3x^2 + 5x - (m-7) = 0$ が重解を持つということである。

2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D = 0$ となる。

まず、与えられた2次関数を整理する。

$y = -3x^2 + 5x - m + 7$

2次方程式 $-3x^2 + 5x - m + 7 = 0$ の判別式 $D$ は、

$D = b^2 - 4ac$ で与えられる。ここで、$a = -3$, $b = 5$, $c = -m + 7$ である。

したがって、

$D = 5^2 - 4(-3)(-m + 7) = 25 - 12(m - 7) = 25 - 12m + 84 = 109 - 12m$

$D = 0$ となる条件から、

$109 - 12m = 0$

$12m = 109$

$m = \frac{109}{12}$

3. 最終的な答え

$m = \frac{109}{12}$