一次関数 $f(x) = ax + b$ について、$f(2) = \frac{7}{4}$ および $f(4) = \frac{11}{4}$ が成り立つとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

一次関数 $f(x) = ax + b$ について、$f(2) = \frac{7}{4}$ および $f(4) = \frac{11}{4}$ が成り立つとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(2)$ と $f(4)$ をそれぞれ $a$ と $b$ で表します。

$f(2) = 2a + b$

$f(4) = 4a + b$

問題文より、$f(2) = \frac{7}{4}$ かつ $f(4) = \frac{11}{4}$ なので、次の2つの式が得られます。

$2a + b = \frac{7}{4}$

$4a + b = \frac{11}{4}$

この連立方程式を解きます。2つ目の式から1つ目の式を引くと、

$(4a + b) - (2a + b) = \frac{11}{4} - \frac{7}{4}$

$2a = \frac{4}{4}$

$2a = 1$

$a = \frac{1}{2}$

$a = \frac{1}{2}$ を1つ目の式 $2a + b = \frac{7}{4}$ に代入すると、

$2(\frac{1}{2}) + b = \frac{7}{4}$

$1 + b = \frac{7}{4}$

$b = \frac{7}{4} - 1$

$b = \frac{7}{4} - \frac{4}{4}$

$b = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{1}{2}$

$b = \frac{3}{4}$