与えられた2次関数 $y = -x^2 - 7x + 9$ のグラフ上の点 $(-6, 15)$ における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = -x^2 - 7x + 9$ のグラフ上の点 $(-6, 15)$ における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1: 微分を用いて、関数の導関数を求めます。

$y' = \frac{dy}{dx} = -2x - 7$

ステップ2: 点 $(-6, 15)$ における接線の傾きを求めます。これは導関数に $x = -6$ を代入することで得られます。

$y'(-6) = -2(-6) - 7 = 12 - 7 = 5$

したがって、接線の傾きは $5$ です。

ステップ3: 点 $(-6, 15)$ を通り、傾きが $5$ の直線の方程式（接線の方程式）を求めます。

点傾斜式は $y - y_1 = m(x - x_1)$ であり、ここで $(x_1, y_1) = (-6, 15)$ で、 $m = 5$ です。

したがって、

$y - 15 = 5(x - (-6))$

$y - 15 = 5(x + 6)$

$y - 15 = 5x + 30$

$y = 5x + 30 + 15$

$y = 5x + 45$

3. 最終的な答え

$y = 5x + 45$