写真に写っている数学の問題を解きます。具体的には、以下の問題が含まれています。 * 問3：対数の計算 * (1) $\log_2 \frac{4}{3} + \log_2 12$ * (2) $2\log_3 \sqrt{3} - \frac{1}{2} \log_3 6 + \log_3 \frac{\sqrt{6}}{3}$ * 問4：指数・対数方程式 * (1) $2^x = 16$ * (2) $3^x = \frac{1}{81}$ * (3) $\log_2 x = 3$ * (4) $\log_3 (x+1) = 3$ * 問5：指数不等式 * (1) $3^x < 27$ * (2) $(\frac{1}{2})^x < \frac{1}{32}$ * 問6：関数の問題 * 関数 $y = 4^x - 4 \cdot 2^x - 32$ について * (1) $2^x = t$ とおくとき、$y$ を $t$ の式で表す。 * (2) $y = 0$ を満たす $x$ の値を求める。 * (3) $0 \le x \le 3$ における $y$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

写真に写っている数学の問題を解きます。具体的には、以下の問題が含まれています。

* 問3：対数の計算

* (1) $\log_2 \frac{4}{3} + \log_2 12$

* (2) $2\log_3 \sqrt{3} - \frac{1}{2} \log_3 6 + \log_3 \frac{\sqrt{6}}{3}$

* 問4：指数・対数方程式

* (1) $2^x = 16$

* (2) $3^x = \frac{1}{81}$

* (3) $\log_2 x = 3$

* (4) $\log_3 (x+1) = 3$

* 問5：指数不等式

* (1) $3^x < 27$

* (2) $(\frac{1}{2})^x < \frac{1}{32}$

* 問6：関数の問題

* 関数 $y = 4^x - 4 \cdot 2^x - 32$ について

* (1) $2^x = t$ とおくとき、$y$ を $t$ の式で表す。

* (2) $y = 0$ を満たす $x$ の値を求める。

* (3) $0 \le x \le 3$ における $y$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

* 問3

* (1) 対数の性質 $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$ を利用する。

$\log_2 \frac{4}{3} + \log_2 12 = \log_2 (\frac{4}{3} \cdot 12) = \log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$

* (2) 対数の性質 $k \log_a x = \log_a x^k$, $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$, $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$ を利用する。

$2\log_3 \sqrt{3} - \frac{1}{2} \log_3 6 + \log_3 \frac{\sqrt{6}}{3} = \log_3 (\sqrt{3})^2 - \log_3 \sqrt{6} + \log_3 \frac{\sqrt{6}}{3} = \log_3 3 - \log_3 \sqrt{6} + \log_3 \frac{\sqrt{6}}{3} = \log_3 \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}}{\sqrt{6}} = \log_3 \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \log_3 1 = 0$

* 問4

* (1) $2^x = 16 = 2^4$ より $x = 4$

* (2) $3^x = \frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$ より $x = -4$

* (3) $\log_2 x = 3$ より $x = 2^3 = 8$

* (4) $\log_3 (x+1) = 3$ より $x+1 = 3^3 = 27$ なので $x = 26$

* 問5

* (1) $3^x < 27 = 3^3$ より $x < 3$

* (2) $(\frac{1}{2})^x < \frac{1}{32} = (\frac{1}{2})^5$ より $x > 5$ （底が1より小さいので不等号の向きが変わる）

* 問6

* (1) $y = 4^x - 4 \cdot 2^x - 32 = (2^x)^2 - 4 \cdot 2^x - 32$。$2^x = t$ より $y = t^2 - 4t - 32$

* (2) $y = t^2 - 4t - 32 = 0$ を解く。$(t-8)(t+4) = 0$ より $t = 8, -4$。$t = 2^x > 0$ なので $t = 8$。したがって $2^x = 8 = 2^3$ より $x = 3$

* (3) $y = t^2 - 4t - 32 = (t-2)^2 - 36$。$t = 2^x$ であり、$0 \le x \le 3$ なので $2^0 \le t \le 2^3$、つまり $1 \le t \le 8$。

$y$ は $t=2$ で最小値 $-36$ を取る。このとき $2^x = 2$ より $x=1$。

$t=8$ のとき、$y = 8^2 - 4\cdot8 -32 = 64-32-32 = 0$。このとき $2^x = 8$ より $x=3$。

$t=1$ のとき、$y=1-4-32 = -35$。このとき $2^x = 1$ より $x=0$。

よって、$x=1$ のとき最小値 $-36$、$x=3$ のとき最大値 $0$。

3. 最終的な答え

* 問3

* (1) 4

* (2) 0

* 問4

* (1) $x = 4$

* (2) $x = -4$

* (3) $x = 8$

* (4) $x = 26$

* 問5

* (1) $x < 3$

* (2) $x > 5$

* 問6

* (1) $y = t^2 - 4t - 32$

* (2) $x = 3$

* (3) 最大値：0（$x = 3$ のとき）、最小値：-36（$x = 1$ のとき）