数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^3 + n + 2$ で与えられているとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^3 + n + 2$ で与えられているとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

一般項 $a_n$ は、和 $S_n$ を用いて次のように表すことができます。

$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$

$n = 1$ のとき、$a_1 = S_1$

まず、$n \geq 2$ のときの $a_n$ を求めます。

$S_n = n^3 + n + 2$ より、$S_{n-1} = (n-1)^3 + (n-1) + 2$ です。

したがって、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^3 + n + 2) - ((n-1)^3 + (n-1) + 2)$

$= n^3 + n + 2 - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1 + n - 1 + 2)$

$= n^3 + n + 2 - (n^3 - 3n^2 + 4n)$

$= 3n^2 - 3n + 2$

次に、$n=1$ のときの $a_1$ を求めます。

$a_1 = S_1 = 1^3 + 1 + 2 = 1 + 1 + 2 = 4$

ここで、$n \geq 2$ で求めた $a_n$ の式に $n=1$ を代入すると、$a_1 = 3(1)^2 - 3(1) + 2 = 3 - 3 + 2 = 2$ となり、$S_1$ から求めた $a_1 = 4$ と一致しません。

したがって、$n=1$ のときと $n \geq 2$ のときで場合分けが必要です。

3. 最終的な答え

$a_1 = 4$

$a_n = 3n^2 - 3n + 2$ ($n \geq 2$)