問題は、二項定理を用いて、$(a-2b)^6$の展開式における$a^5b$と$a^2b^4$の項の係数、および$(x^2-\frac{2}{x})^6$の展開式における$x^6$の項の係数と定数項を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、二項定理を用いて、$(a-2b)^6$の展開式における$a^5b$と$a^2b^4$の項の係数、および$(x^2-\frac{2}{x})^6$の展開式における$x^6$の項の係数と定数項を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $(a-2b)^6$の展開

二項定理より、一般項は${}_6 C_r a^{6-r} (-2b)^r$となります。

* $a^5b$の項の係数：

$a^{6-r} b^r = a^5 b$となるのは$r=1$のときです。このときの項は、

${}_6 C_1 a^5 (-2b)^1 = 6 \cdot a^5 \cdot (-2b) = -12 a^5 b$

よって、$a^5b$の係数は-12です。

* $a^2b^4$の項の係数：

$a^{6-r} b^r = a^2 b^4$となるのは$r=4$のときです。このときの項は、

${}_6 C_4 a^2 (-2b)^4 = 15 \cdot a^2 \cdot (16b^4) = 240 a^2 b^4$

よって、$a^2b^4$の係数は240です。

(2) $(x^2-\frac{2}{x})^6$の展開

二項定理より、一般項は${}_6 C_r (x^2)^{6-r} (-\frac{2}{x})^r = {}_6 C_r x^{12-2r} (-2)^r x^{-r} = {}_6 C_r (-2)^r x^{12-3r}$となります。

* $x^6$の項の係数：

$x^{12-3r} = x^6$となるのは、$12-3r=6$、つまり$3r=6$、$r=2$のときです。このときの項は、

${}_6 C_2 (-2)^2 x^6 = 15 \cdot 4 \cdot x^6 = 60 x^6$

よって、$x^6$の係数は60です。

* 定数項：

$x^{12-3r} = x^0$となるのは、$12-3r=0$、つまり$3r=12$、$r=4$のときです。このときの項は、

${}_6 C_4 (-2)^4 = 15 \cdot 16 = 240$

よって、定数項は240です。

3. 最終的な答え

$a^5b$の項の係数は -12

$a^2b^4$の項の係数は 240

$x^6$の項の係数は 60

定数項は 240