関数 $y = -6x^2 - 9x + 3$ のグラフ上の点 $(-2, -3)$ における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -6x^2 - 9x + 3$ のグラフ上の点 $(-2, -3)$ における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数の導関数を求めます。導関数は、接線の傾きを表します。

$y = -6x^2 - 9x + 3$ を微分すると、

$y' = -12x - 9$

次に、点 $(-2, -3)$ における接線の傾きを求めます。導関数に $x = -2$ を代入します。

$y'(-2) = -12(-2) - 9 = 24 - 9 = 15$

したがって、点 $(-2, -3)$ における接線の傾きは 15 です。

接線の方程式は、点傾斜形 $y - y_1 = m(x - x_1)$ で表すことができます。ここで、$(x_1, y_1)$ は接点の座標であり、$m$ は接線の傾きです。

$(x_1, y_1) = (-2, -3)$、 $m = 15$ を代入すると、

$y - (-3) = 15(x - (-2))$

$y + 3 = 15(x + 2)$

$y + 3 = 15x + 30$

$y = 15x + 30 - 3$

$y = 15x + 27$

3. 最終的な答え

$y = 15x + 27$