関数 $y = x^2 + x$ のグラフに点 $(2, -3)$ から引いた接線の方程式を求める問題です。一つ目の接線の方程式は $y = -x - 1$ で与えられています。もう一つの接線の方程式を求める必要があります。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 + x$ のグラフに点 $(2, -3)$ から引いた接線の方程式を求める問題です。一つ目の接線の方程式は $y = -x - 1$ で与えられています。もう一つの接線の方程式を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を $(t, t^2 + t)$ とおきます。

次に、$y = x^2 + x$ を微分して、接線の傾きを求めます。

$y' = \frac{dy}{dx} = 2x + 1$

したがって、接点 $(t, t^2 + t)$ における接線の傾きは $2t + 1$ です。

接線の方程式は、点 $(t, t^2 + t)$ を通り、傾きが $2t + 1$ である直線の方程式なので、

$y - (t^2 + t) = (2t + 1)(x - t)$

$y = (2t + 1)x - 2t^2 - t + t^2 + t$

$y = (2t + 1)x - t^2$

この接線が点 $(2, -3)$ を通るので、

$-3 = (2t + 1)(2) - t^2$

$-3 = 4t + 2 - t^2$

$t^2 - 4t - 5 = 0$

$(t - 5)(t + 1) = 0$

$t = 5, -1$

$t = -1$のとき、接点は $(-1, 0)$で、傾きは $2(-1) + 1 = -1$ なので、接線は $y = -x - 1$ です。これはすでに与えられています。

$t = 5$のとき、接点は $(5, 30)$で、傾きは $2(5) + 1 = 11$ なので、接線は

$y = 11x - t^2$に$t=5$を代入して

$y = 11x - 25$となります。

3. 最終的な答え

$y = 11x - 25$