関数 $y = x^2 + x$ のグラフ上の点 $(a, a^2 + a)$ における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 + x$ のグラフ上の点 $(a, a^2 + a)$ における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、接線の傾きを求めます。

$y = x^2 + x$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 2x + 1$

点 $(a, a^2 + a)$ における接線の傾きは、微分した式に $x = a$ を代入することで得られます。

$m = 2a + 1$

次に、点 $(a, a^2 + a)$ を通り、傾き $m = 2a + 1$ の直線の方程式を求めます。点傾きの公式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を用いると、

$y - (a^2 + a) = (2a + 1)(x - a)$

この式を展開して整理します。

$y - a^2 - a = 2ax + x - 2a^2 - a$

$y = 2ax + x - 2a^2 - a + a^2 + a$

$y = (2a + 1)x - a^2$

3. 最終的な答え

$y = (2a + 1)x - a^2$