(2)の問題は三角比の値を求める問題です。 (1) $0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ$ のとき、$\cos \theta = \frac{\sqrt{15}}{5}$ のときの $\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めます。 (2) $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\tan \theta = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ のときの $\cos \theta$ の値を求めます。 (3)の問題は三角比の値を満たす角度を求める問題です。 (1) $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ を求めます。 (2) $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $\theta$ を求めます。 (3) $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\tan \theta = 1$ を満たす $\theta$ を求めます。

1. 問題の内容

(2)の問題は三角比の値を求める問題です。

(1) $0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ$ のとき、$\cos \theta = \frac{\sqrt{15}}{5}$ のときの $\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めます。

(2) $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\tan \theta = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ のときの $\cos \theta$ の値を求めます。

(3)の問題は三角比の値を満たす角度を求める問題です。

(1) $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ を求めます。

(2) $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $\theta$ を求めます。

(3) $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\tan \theta = 1$ を満たす $\theta$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\cos \theta = \frac{\sqrt{15}}{5}$ であることから、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いて $\sin \theta$ を求めます。

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{15}{25} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

$0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ$ より $\sin \theta \geq 0$ であるから、$\sin \theta = \sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$ となります。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{\sqrt{10}}{5}}{\frac{\sqrt{15}}{5}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{10}{15}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ となります。

(2) $\tan \theta = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ であることから、$\tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ を用いて $\cos \theta$ を求めます。

$\frac{1}{\cos^2 \theta} = \left(-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 + 1 = \frac{5}{4} + 1 = \frac{9}{4}$

$\cos^2 \theta = \frac{4}{9}$

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ より、$\tan \theta < 0$ であることから $\cos \theta < 0$ であるので、$\cos \theta = -\sqrt{\frac{4}{9}} = -\frac{2}{3}$ となります。

(3)

(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\theta = 60^\circ, 120^\circ$ となります。

(2) $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ より、$\theta = 135^\circ$ となります。

(3) $\tan \theta = 1$ より、$\theta = 45^\circ$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{10}}{5}$, $\tan \theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$

(2) $\cos \theta = -\frac{2}{3}$

(3)

(1) $\theta = 60^\circ, 120^\circ$

(2) $\theta = 135^\circ$

(3) $\theta = 45^\circ$