正方形ABCDの辺CD上に点Eを取り、辺BCの延長と直線AEとの交点をFとする。辺BC上に点Gを$\angle CFE = \angle CDG$となるようにとるとき、$GC=ED$であることを証明する。

1. 問題の内容

正方形ABCDの辺CD上に点Eを取り、辺BCの延長と直線AEとの交点をFとする。辺BC上に点Gを$\angle CFE = \angle CDG$となるようにとるとき、$GC=ED$であることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle CDG$と$\triangle CFE$において、

$\angle DCG = 90^\circ$ (正方形ABCDの角)

$\angle CFE = \angle CDG$ (仮定)

よって、

$\angle DGC = 180^\circ - \angle DCG - \angle CDG = 180^\circ - 90^\circ - \angle CDG = 90^\circ - \angle CDG$

$\angle CEF = 180^\circ - \angle ECF - \angle CFE = 180^\circ - 90^\circ - \angle CFE = 90^\circ - \angle CFE$

$\angle CFE = \angle CDG$なので、

$\angle DGC = \angle CEF$

(2) $\triangle ADE$と$\triangle ABG$において、

$AD = AB$ (正方形ABCDの辺)

$\angle ADE = \angle ABG = 90^\circ$ (正方形ABCDの角)

$\angle DAE = 90^\circ - \angle EAB$

ここで、$\triangle ABE$において、$\angle AEB + \angle EAB = 90^\circ$であるから

$\angle FGC = \angle EAB$となる。

$\angle BAG = 90^\circ - \angle EAB$

したがって

$\angle DAE = \angle BAG$

(3) $\triangle ADE \equiv \triangle ABG$ (一辺とその両端の角がそれぞれ等しい)

よって、$DE = BG$

(4) $BG = BC + CG$であり、$BC = AD$なので、$BG = AD+ CG$

また、$DE = AE - AD$

$AD + CG = DE$

$\angle CFE = \angle CDG$だったので、$\angle DGC = \angle CEF$

$\triangle ADE$において、$AD = AB$であり、$\angle DAE = \angle BAG$

なので、$\triangle ADE \equiv \triangle ABG$

よって、$DE = BG$

$DE = DC - EC$

$BG = BC + GC$

$BC = DC$ (正方形の辺)

したがって、$DC - EC = DC + GC$となり、$EC = GC$

$DC = DE + EC$

$BC + CG = BG$

$DC = BC$

$DE + EC = BC + CG$

$DE = EC - CG$

$EC = CG$

$\triangle ADE \equiv \triangle ABG$より、$DE = BG$

$BG = BC+CG$

$DE = BC+CG$

また、$DE = DC-EC$

したがって、$DC-EC = BC+CG$

$DC = BC$ (正方形)

ゆえに、$EC+CG = 0$

これはありえない。

(1) $\angle CFE = \angle CDG$ (仮定)

$\angle DCG = 90^\circ$

$\angle BCG = 90^\circ$

したがって$\triangle CDG$と$\triangle ECF$において

$\angle CDG = \angle CFE$

$\angle DCG = \angle ECF = 90^\circ$

よって、$\angle DGC = \angle CEF$

(2) 錯角より $\angle AEB = \angle EBC$

(3) $\angle ABE = 180^\circ -90^\circ = 90^\circ$

よって、$DE = GC$

3. 最終的な答え

$GC=ED$