関数 $y = x^2 + x$ のグラフ上の点 $(a, a^2 + a)$ における接線の方程式は $y = (2a+1)x - a^2$ である。この接線が点 $(2, -3)$ を通るとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 + x$ のグラフ上の点 $(a, a^2 + a)$ における接線の方程式は $y = (2a+1)x - a^2$ である。この接線が点 $(2, -3)$ を通るとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

接線 $y = (2a+1)x - a^2$ が点 $(2, -3)$ を通るので、$x = 2$ と $y = -3$ を代入して、$a$ についての式を作る。

$-3 = (2a + 1)(2) - a^2$

これを整理する。

$-3 = 4a + 2 - a^2$

$a^2 - 4a - 5 = 0$

この2次方程式を解く。因数分解できるので、

$(a - 5)(a + 1) = 0$

したがって、$a = 5$ または $a = -1$ となる。

3. 最終的な答え

$a = -1, 5$