関数 $y = 2x^2 + x$ のグラフに点 $(-2, -12)$ から引いた接線の方程式を求めよ。一つの方程式が $y = -19x - 50$ であることは分かっている。もう一つの接線の方程式を求める必要がある。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 + x$ のグラフに点 $(-2, -12)$ から引いた接線の方程式を求めよ。一つの方程式が $y = -19x - 50$ であることは分かっている。もう一つの接線の方程式を求める必要がある。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y = 2x^2 + x$ の微分を求めます。

$y' = 4x + 1$

次に、接点の $x$ 座標を $t$ とおきます。すると、接点の座標は $(t, 2t^2 + t)$ と表されます。

点 $(t, 2t^2 + t)$ における接線の方程式は、

$y - (2t^2 + t) = (4t + 1)(x - t)$

$y = (4t + 1)x - 4t^2 - t + 2t^2 + t$

$y = (4t + 1)x - 2t^2$

この接線が点 $(-2, -12)$ を通るので、

$-12 = (4t + 1)(-2) - 2t^2$

$-12 = -8t - 2 - 2t^2$

$2t^2 + 8t - 10 = 0$

$t^2 + 4t - 5 = 0$

$(t + 5)(t - 1) = 0$

したがって、$t = -5$ または $t = 1$ です。

$t=1$のとき、$y = (4(1) + 1)x - 2(1)^2 = 5x - 2$

$t=-5$のとき、$y = (4(-5) + 1)x - 2(-5)^2 = -19x - 50$ (これはすでに与えられています)

したがって、もう一つの接線の方程式は $y = 5x - 2$ です。

3. 最終的な答え

$y = 5x - 2$