整数 $a$ は8で割ると3余り、整数 $b$ は8で割ると7余る。$a+b$ および $ab$ を8で割ったときの余りをそれぞれ求める。

1. 問題の内容

整数 $a$ は8で割ると3余り、整数 $b$ は8で割ると7余る。$a+b$ および $ab$ を8で割ったときの余りをそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

まず、$a$ と $b$ をそれぞれ $k$ と $l$ を用いて表します。

$a = 8k + 3$

$b = 8l + 7$

次に、$a+b$ を計算します。

$a+b = (8k + 3) + (8l + 7)$

$a+b = 8k + 8l + 3 + 7$

$a+b = 8k + 8l + 10$

$a+b = 8(k+l) + 10$

$a+b = 8(k+l) + 8 + 2$

$a+b = 8(k+l+1) + 2$

したがって、$a+b$ を8で割ったときの余りは2です。

次に、$ab$ を計算します。

$ab = (8k + 3)(8l + 7)$

$ab = 64kl + 56k + 24l + 21$

$ab = 8(8kl + 7k + 3l) + 21$

$ab = 8(8kl + 7k + 3l) + 16 + 5$

$ab = 8(8kl + 7k + 3l + 2) + 5$

したがって、$ab$ を8で割ったときの余りは5です。

3. 最終的な答え

$a = 8k + 3$

$b = 8l + 7$

$a+b = 8(k+l+1) + 2$

$a+b$ を8で割ったときの余りは 2 です。

$ab = 8(8kl + 7k + 3l + 2) + 5$

$ab$ を8で割ったときの余りは 5 です。