(3) 589と171の最大公約数を、ユークリッドの互除法を用いて求めよ。 (4) 方程式 $9x - 4y = 1$ の整数解をすべて求めよ。 (5) (1) 5進法で表された数 $143_{(5)}$ を10進法で表せ。 (2) 10進法で表された数65を3進法で表せ。

1. 問題の内容

(3) 589と171の最大公約数を、ユークリッドの互除法を用いて求めよ。

(4) 方程式 $9x - 4y = 1$ の整数解をすべて求めよ。

(5) (1) 5進法で表された数 $143_{(5)}$ を10進法で表せ。

(2) 10進法で表された数65を3進法で表せ。

2. 解き方の手順

(3) ユークリッドの互除法を用いて最大公約数を求める。

$589 = 171 \times 3 + 76$

$171 = 76 \times 2 + 19$

$76 = 19 \times 4 + 0$

したがって、589と171の最大公約数は19。

(4) $9x - 4y = 1$

$x=1, y=2$は、(i)の整数解の1つである。

$9(1) - 4(2) = 1$

$9x - 4y = 1$から$9(x-1) - 4(y-2) = 0$

$9(x-1) = 4(y-2)$

9と4は互いに素であるから、$x-1$は4の倍数である。

$x-1 = 4k$

$9 \times 4k = 4(y-2)$

$9k = y - 2$

$y = 9k + 2$

したがって、整数解は

$x = 4k + 1$

$y = 9k + 2$

(5) (1) 5進法で表された数$143_{(5)}$を10進法で表す。

$143_{(5)} = 1 \times 5^2 + 4 \times 5^1 + 3 \times 5^0 = 25 + 20 + 3 = 48$

(2) 10進法で表された数65を3進法で表す。

$65 = 3 \times 21 + 2$

$21 = 3 \times 7 + 0$

$7 = 3 \times 2 + 1$

$2 = 3 \times 0 + 2$

$65 = 2102_{(3)}$

3. 最終的な答え

(3) 最大公約数: 19

(4) $x = 4k + 1, y = 9k + 2$

(5) (1) 48

(2) $2102_{(3)}$