関数 $y = 3x^2 - 2x$ のグラフの接線が、接点 $(a, 3a^2 - 2a)$ で直線 $y = 10x$ に平行であるとき、接点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = 3x^2 - 2x$ のグラフの接線が、接点 $(a, 3a^2 - 2a)$ で直線 $y = 10x$ に平行であるとき、接点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = 3x^2 - 2x$ を微分して、導関数 $y'$ を求める。

$y' = 6x - 2$

接点 $x=a$ における接線の傾きは $y'(a) = 6a - 2$ である。

直線 $y = 10x$ に平行な接線の傾きは $10$ であるので、$6a - 2 = 10$ となる。

この方程式を解いて $a$ の値を求める。

$6a - 2 = 10$

$6a = 12$

$a = 2$

接点の $x$ 座標は $a = 2$ である。接点の $y$ 座標は $3a^2 - 2a$ であり、$a=2$ を代入して計算する。

$3(2)^2 - 2(2) = 3(4) - 4 = 12 - 4 = 8$

したがって、接点の座標は $(2, 8)$ である。

3. 最終的な答え

(2, 8)