兄は自転車で家から2km離れた図書館に行き、同じ速さで家に戻った。弟は兄が出発してから15分後に時速4kmで歩いて図書館へ向かった。兄の移動の様子を表すグラフが与えられている。 (1) 兄の自転車の時速を求める。 (2) 兄と弟がすれ違うのは、家から何kmの地点かを求める。

1. 問題の内容

兄は自転車で家から2km離れた図書館に行き、同じ速さで家に戻った。弟は兄が出発してから15分後に時速4kmで歩いて図書館へ向かった。兄の移動の様子を表すグラフが与えられている。

(1) 兄の自転車の時速を求める。

(2) 兄と弟がすれ違うのは、家から何kmの地点かを求める。

2. 解き方の手順

(1) 兄の自転車の時速を求める。

グラフより、兄は家から図書館まで10分で到着している。距離は2kmなので、

$\text{速さ} = \frac{\text{距離}}{\text{時間}}$

速さを求めるためには、時間の単位を分から時間に変える必要がある。

10分 = $\frac{10}{60} = \frac{1}{6}$ 時間

$\text{速さ} = \frac{2}{\frac{1}{6}} = 2 \times 6 = 12$

したがって、兄の自転車の時速は12kmである。

(2) 兄と弟がすれ違う地点を求める。

兄が家を出発してから $x$ 分後に、家から $y$ kmの地点ですれ違うとする。

兄は出発から30分後に図書館を出発し、40分後に家に着いているので、30分から40分の間、すなわち、出発してから$x$分後の家からの距離 $y$ は、直線の式で表される。

この直線の式は、傾きが$\frac{0-2}{40-30} = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$であり、点(40, 0)を通るので、

$y = -\frac{1}{5}(x - 40) = -\frac{1}{5}x + 8$

弟は兄が出発してから15分後に家を出発し、時速4kmで歩いている。つまり、弟は1時間に4km進むので、1分あたり$\frac{4}{60} = \frac{1}{15}$ km進む。

弟が出発してから $x-15$ 分後の家からの距離は $y = \frac{1}{15}(x-15)$で表される。

兄と弟がすれ違う地点では、$y$ の値が等しくなるので、

$-\frac{1}{5}x + 8 = \frac{1}{15}(x-15)$

$-\frac{1}{5}x + 8 = \frac{1}{15}x - 1$

両辺に15をかけると、

$-3x + 120 = x - 15$

$4x = 135$

$x = \frac{135}{4} = 33.75$

$y = \frac{1}{15}(\frac{135}{4}-15) = \frac{1}{15}(\frac{135-60}{4}) = \frac{1}{15} \times \frac{75}{4} = \frac{5}{4} = 1.25$

したがって、兄と弟がすれ違うのは家から1.25kmの地点である。

3. 最終的な答え

(1) 兄の自転車の時速: 12km

(2) 兄と弟がすれ違う地点: 1.25km