関数 $y = 5x^2 - 2x - 1$ のグラフの接線が、接点 $(a, 5a^2 - 2a - 1)$ で直線 $y = 8x + 9$ に平行であるとき、接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 5x^2 - 2x - 1$ のグラフの接線が、接点 $(a, 5a^2 - 2a - 1)$ で直線 $y = 8x + 9$ に平行であるとき、接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = 5x^2 - 2x - 1$ を微分して、導関数を求めます。

$y' = \frac{d}{dx}(5x^2 - 2x - 1) = 10x - 2$

接点 $x = a$ における接線の傾きは、導関数に $x = a$ を代入した値 $10a - 2$ になります。

接線が直線 $y = 8x + 9$ に平行であるということは、接線の傾きが $8$ であるということです。

したがって、

$10a - 2 = 8$

$10a = 10$

$a = 1$

接点の $y$ 座標は、$y = 5a^2 - 2a - 1$ に $a = 1$ を代入して求めます。

$y = 5(1)^2 - 2(1) - 1 = 5 - 2 - 1 = 2$

したがって、接点の座標は $(1, 2)$ です。

3. 最終的な答え

$(1, 2)$