## 1. 問題の内容

##

1. 問題の内容

与えられた問題は5つの小問から構成されています。それぞれ以下の通りです。

(1) $y$ は $x$ の2乗に比例し、$x = -3$ のとき $y = 3$ である。$y$ を $x$ の式で表せ。

(2) 関数 $y = 2x^2$ で、$x$ の値が1から3まで増加するときの変化の割合を求めよ。

(3) 関数 $y = -\frac{1}{4}x^2$ で、$x$ の変域が $-2 \le x \le 5$ のときの $y$ の変域を求めよ。

(4) 関数 $y = ax^2$ で、$x$ の値が $-4$ から $-2$ まで増加するときの変化の割合は3である。$a$ の値を求めよ。

(5) 関数 $y = ax^2$ で、$x$ の変域が $-1 \le x \le 3$ のとき、$y$ の変域が $0 \le y \le 6$ である。$a$ の値を求めよ。

##

2. 解き方の手順

**(1)**

* $y$ が $x$ の2乗に比例するので、$y = ax^2$ とおくことができます。

* $x = -3$ のとき $y = 3$ を代入して、$3 = a(-3)^2$ を解きます。

* $3 = 9a$ より、$a = \frac{1}{3}$ となります。

* したがって、$y = \frac{1}{3}x^2$ が答えです。

**(2)**

* $x$ が1から3まで増加するときの変化の割合は、$\frac{yの増加量}{xの増加量}$ で求められます。

* $x=1$ のとき $y = 2(1)^2 = 2$

* $x=3$ のとき $y = 2(3)^2 = 18$

* 変化の割合は $\frac{18-2}{3-1} = \frac{16}{2} = 8$

**(3)**

* $y = -\frac{1}{4}x^2$ は上に凸の放物線なので、$x=0$ のとき最大値 $y=0$ をとります。

* $x$ の変域が $-2 \le x \le 5$ なので、

$x = -2$ のとき $y = -\frac{1}{4}(-2)^2 = -1$

$x = 5$ のとき $y = -\frac{1}{4}(5)^2 = -\frac{25}{4} = -6.25$

* したがって、$y$ の変域は $-\frac{25}{4} \le y \le 0$ となります。

**(4)**

* $x$ が $-4$ から $-2$ まで増加するときの変化の割合は $\frac{a(-2)^2 - a(-4)^2}{-2 - (-4)} = 3$ です。

* これを整理すると、$\frac{4a - 16a}{2} = 3$ となります。

* $\frac{-12a}{2} = 3$ より、$-6a = 3$ となります。

* したがって、$a = -\frac{1}{2}$ が答えです。

**(5)**

* $y = ax^2$ で、$x$ の変域が $-1 \le x \le 3$ のとき、$y$ の変域が $0 \le y \le 6$ であることから、$a>0$であることがわかる。

* $x = 3$ のとき、$y = 6$ となるので、 $6 = a(3)^2$ となる。

* $6 = 9a$ より、$a = \frac{2}{3}$ となる。

##

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{3}x^2$

(2) 8

(3) $-\frac{25}{4} \le y \le 0$

(4) $a = -\frac{1}{2}$

(5) $a = \frac{2}{3}$