$\sqrt{\frac{504}{n}}$ が整数となるような自然数 $n$ は何個あるか。

1. 問題の内容

$\sqrt{\frac{504}{n}}$ が整数となるような自然数 $n$ は何個あるか。

2. 解き方の手順

$\sqrt{\frac{504}{n}}$ が整数となるためには、$\frac{504}{n}$ がある整数の2乗になる必要があります。

まず、504を素因数分解します。

$504 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7$

$\frac{504}{n} = \frac{2^3 \cdot 3^2 \cdot 7}{n}$ がある整数の2乗になるためには、$n$ は $2 \cdot 7 = 14$ の倍数である必要があります。また、$n$ で割った結果、各素因数の指数が偶数になる必要があります。

$n = 2 \cdot 7 \cdot k^2$ （$k$は整数）という形である必要があります。つまり、$n = 14 k^2$ となります。

ここで、$n$は504の約数である必要があります。

$n$ が $504$ 以下である必要があるため、

$14 k^2 \le 504$

$k^2 \le \frac{504}{14} = 36$

$k \le 6$

$k$ は自然数なので、$k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ です。

それぞれの $k$ に対する $n$ は以下のようになります。

$k=1$ のとき、$n = 14 \cdot 1^2 = 14$

$k=2$ のとき、$n = 14 \cdot 2^2 = 14 \cdot 4 = 56$

$k=3$ のとき、$n = 14 \cdot 3^2 = 14 \cdot 9 = 126$

$k=4$ のとき、$n = 14 \cdot 4^2 = 14 \cdot 16 = 224$

$k=5$ のとき、$n = 14 \cdot 5^2 = 14 \cdot 25 = 350$

$k=6$ のとき、$n = 14 \cdot 6^2 = 14 \cdot 36 = 504$

以上より、$n$ は $14, 56, 126, 224, 350, 504$ の6個です。

3. 最終的な答え

6個