6個の数字 0, 1, 2, 3, 4, 5 を使って、同じ数字を2度以上使わないという条件のもとで、以下の個数を求める問題です。 (1) 6桁の整数の個数 (2) 6桁の整数で5の倍数の個数

1. 問題の内容

6個の数字 0, 1, 2, 3, 4, 5 を使って、同じ数字を2度以上使わないという条件のもとで、以下の個数を求める問題です。

(1) 6桁の整数の個数

(2) 6桁の整数で5の倍数の個数

2. 解き方の手順

(1) 6桁の整数の個数

6桁の整数なので、先頭の桁は0以外の数字である必要があります。

まず、先頭の桁の選び方は、1, 2, 3, 4, 5 の5通りです。

次に、2桁目以降は残りの5個の数字から選ぶことになります。

2桁目の選び方は5通り、3桁目の選び方は4通り、4桁目の選び方は3通り、5桁目の選び方は2通り、6桁目の選び方は1通りです。

したがって、6桁の整数の個数は

$5 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 600$通りです。

(2) 6桁の整数で5の倍数の個数

6桁の整数が5の倍数であるためには、末尾の桁が0または5である必要があります。

(i) 末尾の桁が0の場合

末尾の桁が0である場合、残りの5桁は1, 2, 3, 4, 5 の5個の数字から選ぶことになります。

先頭の桁の選び方は5通り、2桁目の選び方は4通り、3桁目の選び方は3通り、4桁目の選び方は2通り、5桁目の選び方は1通りです。

したがって、末尾の桁が0である6桁の整数の個数は

$5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$通りです。

(ii) 末尾の桁が5の場合

末尾の桁が5である場合、先頭の桁は0以外の数字である必要があります。

先頭の桁は0と5以外の1, 2, 3, 4 の4通りです。

2桁目以降は残りの4個の数字と0から選ぶことになります。

2桁目の選び方は4通り、3桁目の選び方は3通り、4桁目の選び方は2通り、5桁目の選び方は1通りです。

したがって、末尾の桁が5である6桁の整数の個数は

$4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 96$通りです。

(i)と(ii)を足し合わせることで、6桁の整数で5の倍数の個数を求めることができます。

$120 + 96 = 216$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 600個

(2) 216個