与えられた式 $ -\sqrt{(-a)^2} + \sqrt{a^2(a-1)^2} $ の根号をはずし、以下の条件で簡単にせよ。 (1) $ a \geq 1 $ (2) $ 0 \leq a < 1 $ (3) $ a < 0 $

1. 問題の内容

与えられた式 $-\sqrt{(-a)^2} + \sqrt{a^2(a-1)^2}$ の根号をはずし、以下の条件で簡単にせよ。

(1) $a \geq 1$

(2) $0 \leq a < 1$

(3) $a < 0$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を簡単にします。

$\sqrt{(-a)^2} = |-a|$

$\sqrt{a^2(a-1)^2} = \sqrt{a^2}\sqrt{(a-1)^2} = |a||a-1|$

したがって、与えられた式は

$-|-a| + |a||a-1|$

(1) $a \geq 1$ のとき

$|-a| = -a$ （なぜなら $a \geq 1$ ならば $-a \leq -1$ であり、$-a < 0$ )

$|a| = a$ （なぜなら $a \geq 1$ ならば $a > 0$ )

$|a-1| = a-1$ （なぜなら $a \geq 1$ ならば $a-1 \geq 0$ )

したがって、

$-(-a) + a(a-1) = a + a^2 - a = a^2$

(2) $0 \leq a < 1$ のとき

$|-a| = -a$（なぜなら $0 \leq a < 1$ ならば $-1 < -a \leq 0$ であり、$-a \leq 0$ )

$|a| = a$（なぜなら $0 \leq a < 1$ ならば $a \geq 0$ )

$|a-1| = -(a-1) = 1-a$（なぜなら $0 \leq a < 1$ ならば $-1 \leq a-1 < 0$ )

したがって、

$-(-a) + a(1-a) = a + a - a^2 = 2a - a^2$

(3) $a < 0$ のとき

$|-a| = -a$（なぜなら $a < 0$ ならば $-a > 0$ )

$|a| = -a$（なぜなら $a < 0$ )

$|a-1| = -(a-1) = 1-a$（なぜなら $a < 0$ ならば $a-1 < -1 < 0$ )

したがって、

$-(-a) + (-a)(1-a) = a - a + a^2 = a^2$

3. 最終的な答え

(1) $a \geq 1$ のとき: $a^2$

(2) $0 \leq a < 1$ のとき: $2a - a^2$

(3) $a < 0$ のとき: $a^2$