与えられた式 $x^4 + x^2y^2 + y^4$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 + x^2y^2 + y^4$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式に $x^2y^2$ を足して引くことで、平方の差の形を作り、因数分解を行う。

まず、$x^4 + x^2y^2 + y^4$ に $x^2y^2$ を足して引くと、

$x^4 + x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - x^2y^2$

となる。

$x^4 + 2x^2y^2 + y^4$ は $(x^2 + y^2)^2$ と変形できるので、

$x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - (xy)^2$

となる。

ここで、平方の差の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を適用すると、

$(x^2 + y^2)^2 - (xy)^2 = (x^2 + y^2 + xy)(x^2 + y^2 - xy)$

となる。

通常、$x^2 + xy + y^2$ のように $x$ の次数が高い順に並べるため、

$(x^2 + y^2 + xy)(x^2 + y^2 - xy) = (x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$

となる。

3. 最終的な答え

$(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$