1枚の硬貨を6回投げるとき、以下の確率を求めます。 (1) 3回だけ表が出る確率 (2) 少なくとも1回裏が出る確率

1. 問題の内容

1枚の硬貨を6回投げるとき、以下の確率を求めます。

(1) 3回だけ表が出る確率

(2) 少なくとも1回裏が出る確率

2. 解き方の手順

(1) 3回だけ表が出る確率

硬貨を6回投げるとき、表が出る確率を $p=\frac{1}{2}$、裏が出る確率を $q=\frac{1}{2}$ とします。3回だけ表が出る確率は、二項分布に従います。

6回中3回表が出る組み合わせの数は、二項係数 ${}_6 C_3$ で計算できます。

${}_6 C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

3回だけ表が出る確率は、

$P(X=3) = {}_6 C_3 \times p^3 \times q^3 = 20 \times (\frac{1}{2})^3 \times (\frac{1}{2})^3 = 20 \times \frac{1}{8} \times \frac{1}{8} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}$

(2) 少なくとも1回裏が出る確率

少なくとも1回裏が出る確率は、すべての事象から一度も裏が出ない確率（つまり、すべて表が出る確率）を引くことで求められます。

すべて表が出る確率は、$(\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$ です。

したがって、少なくとも1回裏が出る確率は、

$1 - \frac{1}{64} = \frac{64}{64} - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$

3. 最終的な答え

(1) 3回だけ表が出る確率：$\frac{5}{16}$

(2) 少なくとも1回裏が出る確率：$\frac{63}{64}$